Rachunek Prawdopodobieństwa (inaczej probabilistyka) to dziedzina matematyki zajmująca się szacowaniem prawdopodobieństwa wystąpienia rozpatrywanego stanu w ustalonych warunkach, np. wyniku rzutu monetą (orzeł/reszka), lub kością (Liczba oczek od 1 do 6). Probabilistyka pomaga w dokonywaniu optymalnych decyzji lub przewidywaniu wyników przy zjawiskach o zdefiniowanych, powtarzających się rezultatach, np. w grach hazardowych, ale również w dziedzinach zajmujących się pomiarami (statystyki demograficzne, meteorologia, itd).

Probabilistyka definiuje szereg pojęć, które tworzą jej podstawy:

DOŚWIADCZENIE LOSOWE (w skrócie: doświadczenie):
Doświadczenie, które może zakończyć się kilkoma różnymi rozpatrywanymi stanami, których nie sposób przewidzieć. Takim doświadczeniem może być np. rzut kością.

Istnieje pojęcie doświadczenia wieloetapowego, np. jeśli doświadczenie polega na dwurkotnym rzucie monetą lub kością, jest to doświadczenie dwuetapowe, a każdy pojedynczy rzut w tym doświadczeniu nazywamy doświadczeniem cząstkowym.

ZDARZENIA ELEMENTARNE I ICH ZBIORY:
Analizując doświadczenie losowe, zwykle rozpatrujemy jakiś skończony zbiór możliwych wyników. Każdy z takich wyników nazywa się zdarzeniem elementarnym (oznaczane zwykle ω).
Przykład: Przy rzucie zwykłą sześcienną kością rozpatrujemy zwykle sześć zdarzeń elementarnych:
ω₁ = 1 oczko
ω₂ = 2 oczka
ω₃ = 3 oczka
ω₄ = 4 oczka
ω₅ = 5 oczek
ω₆ = 6 oczek

Wszystkie rozpatrywane zdarzenia elementarne można zawrzeć w jednym zbiorze, nazywanym zbiorem zdarzeń elementarnych (Ω).
Przykład: Rozpatrywane zdarzenia z powyższego przykładu można zapisać jako:
Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Można definiować liczne zbiory zdarzeń elementarnych (Ω₁, Ω₂, etc.).

Zdarzenie elementarne może być traktowane jako typowy zbiór, podlegający zasadom teorii mnogości.
Przykład 1: Przyjmijmy doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie kością, gdzie pierwszy rzut oznaczamy jako m a drugi jako n. W obu przypadkach wypaść może liczba od 1 do 6 oczek.
Wówczas zarówno m oraz n ∈ {1,2,3,4,5,6}, co można zapisać jako Ω = {(m, n): m, n ∈ {1,2,3,4,5,6}} (Zbiór zdarzeń elementarnych rozpatruje dwa wyniki - m oraz n - które to oba znajdują się w zbiorze liczb całkowitych od 1 do 6).

Przykład 2: Przyjmijmy doświadczenie polegające na rzucie kością, gdzie rozpatrujemy dwa wyniki:
A: Parzysta liczba oczek.
B: Liczba oczek większa od 3.
Zatem A = {2,3,6}, B={4,5,6}, a skoro Ω = {1,2,3,4,5,6}, to A ⊂ Ω (A zawiera się z biorze Ω) oraz B ⊂ Ω (B zawiera się w zbiorze Ω). Także Ω = {A ⋃ B ⋃ {1}}.
O A i B możemy powiedzieć, że są zdarzeniami w zbiorze Ω

Jako że zbiór pusty (∅ lub {}) jest podzbiorem każdego zbioru (∅ ⊂ Ω) oraz każdy zbiór zawiera się sam w sobie (Ω ⊂ Ω), Zarówno ∅ oraz Ω mogą być traktowane jak zdarzenia w zbiorze Ω.
Symbolem ∅ oznaczamy zdarzenie niemożliwe, natomiast Ω jest tożsame ze zdarzeniem pewnym.
Przykład: Przy dwurkotnym rzucie kością niemożliwe jest zdarzenie, gdzie suma wyrzuconych oczek jest równa 1, natomiast zdarzeniem pewnym jest suma wyrzuconych oczek większa od 1.

Mówi się że zdarzenie zawierające się w zbiorze Ω sprzyja zdarzeniu Ω, natomiast zdarzenie ze zbioru pustego nie sprzyja zdarzeniu Ω. Analogicznie jest z relacjami dwóch dowolnych zbiorów.
Przykład: Rozważmy ponownie sytuację z rzutem kością.
Zdefiniujmy zdarzenia:
A = {1,2,3},
B = {4,5,6}.
C = {2}.
A ⊂ Ω, B ⊂ Ω oraz C ⊂ Ω, co oznacza że zarówno A, B jak i C sprzyjają wydarzeniu Ω, nie są zdarzeniami niemożliwymi.
Jednak zarówno A jak i B nie mają żadnej części wspólnej (A ⋂ B = ∅), co oznacza że te zdarzenia się wykluczają i nie są dla siebie sprzyjające.
Jednocześnie, C dzieląc część wspólną z A sprzyja zdarzeniu A (C ⋃ A ⊂ Ω).

PRAWDOPODOBIEŃSTWO:
Warunkiem ustalenia prawdopodobieństwa jest częstość. Jeśli przy wykonaniu n doświadczeń otrzymaliśmy wybrany wynik k razy, częstość tego wyniku określamy ze wzoru c = k/n.
Analogicznie przy wielu rozpatrywanych zdarzeniach (k₁, k₂, k₃, ... k_n), c_n = k_n/n.
Przykład: Jeśli rzucimy kością (Ω = {1,2,3,4,5,6}) 10 razy (n = 10) i dwukrotnie wypadnie nam jedno oczko (k₁ = 2), częstość wypadnięcia jednego okcza w serii tych doświadczeń wynosi 2/10, czyli 1/5 (c₁ = k₁/n = 2/10 = 0.2).

Skoro częstość wyrażana jest jako stosunek ilości danego wyniku do ilości wszystkich doświadczeń (c = k/n), to częstość równą 1 będzie miało wydarzenie które jako jedyne wystąpiło przy każdej próbie, lub suma wszystkich takich wydarzeń (c₁ + c₂ + ... + c_n = k₁/n + k₂/n + ... + k_n/n = n/n = 1).
Przykład 1: Jeśli rzucimy kością jeden raz (n = 1) i wypadnie nam jedno oczko (k₁ = 1), to c₁ = k₁/n = 1/1 = 1.

Przykład 2: Rzucamy kością 5 razy. Otrzymane wyniki to: 2,4,6,1,4. Zatem:
n = 5

x	1	2	3	4	5	6
kx	1	1	0	2	0	1
cx	0,2	0,2	0,0	0,4	0,0	0,2

c₁ + c₂ + c₃ + c₄ + c₅ = (0,2 * 3 + 0,4 + 0 * 2) = 1.

Właściwe prawdopodobieństwo liczymy w podobny sposób, ale mechanika częstości opakowana jest w specjalną konstrukcję:
Dla typowego, omawianego wcześniej zbioru (Ω = {ω₁, ... ω_n});
Definiujemy funkcję P o właściwościach:
P(∅) = 0,
P({ω₁, ω₂, ... ω_n}) = P(ω₁) + P(ω₂) + ... + P(ω_n),
P(ω_n) = p_n.
Przy czym p jest analogiem omawianej wcześniej częstości, co znaczy że:
p₁ ≥ 0, p₂ ≥ 0, ... , p_n ≥ 0 p₁ + p₂ + ... + p_n = 1.

W konsekwencji powyższego,
P(Ω) = 1.
Tak opisana funkcja P wraz ze zbiorem zdarzeń elementarnych Ω tworzy tzw. przestrzeń probabilistyczną, lub model probabilistyczny zdarzenia, a sama funkcja nazywana jest prawdopodobieństwem. Znaczy jeśli mamy zdarzenie A, wynik P(A) to prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest jednocześnie tzw. częstością teoretyczną tego zdarzenia, tj. spodziewamy się, że częstość wydarzenia po przeprowadzeniu doświadczeń dążyć będzie do przypisanego mu prawdopodobieństwa, choć nie jest to nigdy pewne.

ZDARZENIA JEDNAKOWO PRAWDOPODOBNE
W przypadku gdy dla danego modelu probabilistycznego zachodzi sytuacja w której szansa na każde zdarzenie elementarne jest sobie równa (P({ω₁}) = P({ω₂}) = ... = P({ω_n}) = 1/n), wtedy takie zdarzenia nazywamy zdarzeniami elementarnymi jednakowo prawdopodobnymi.
W przypadku gdy rzut monetą może dać tylko dwa wyniki jednakowo prawdopodobne (zakładamy że nie upadnie na bok, nie zgubi się i że obie strony powinny wypadać równie często), mówimy o rzucie monetą symetryczną.
Analogicznie, w przypadku rzutu kością dającą z równym prawdopodobieństwem ilość wyników równą ilości swoich ścian (nie musi być ich 6), mówimy o rzucie kostką symetryczną.

Kiedy rozpatrywany zbiór daje jednakowe prawdopodobieństwo dla wszystkich swoich zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia wyliczyć można z uproszczonego wzoru:
P(A) = m/n
gdzie:
m - ilość zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A
n - ilość zdarzeń elementarnych w zbiorze.
Inaczej można to zapisać (wg Laplace'a):
P(A) = A/Ω(Obecnie na stronie brakuje symboli do przedstawienia tego zapisu).

WŁAŚCIWOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Z powyższych definicji wynika kilka właściwości, które sprowadzone do formy zworów przydają się jako podręczne narzędzia w pracy nad rachunkiem prawdopodobieństwa:
Przyjmijmy że istnieją:
Ω = {1,2,3,4,5,6},
A ⊂ Ω,
A = {1,2,3},
B ⊂ Ω,
B = (Ω\1) = {2,3,4,5,6},
C ⊂ Ω,
C = {1,2}.
Jeśli jakikolwiek zbiór jest częścią innego zbioru, to jest od niego mniejszy, albo mu równy. Tu taką prawidłowość jasno spełnia C ⊂ A (zatem A ≥ C), ale również A, B i C względem Ω (A ⊂ Ω, B ⊂ Ω, C ⊂ Ω). Przenosi się to również na prawdopodobieństwo (P(A) ≥ P(C), P(Ω) = 1 ≥ P(A), etc.).

Prawdopodobieństwo odwrotności konkretnego zdarzenia (np. A', czyli wszystkie zdarzenia elementarne oprócz tych sprzyjających A) jest równe prawdopodobieństwu sumy wszystkich zdarzeń nie sprzyjających temu wydarzeniu:
P(A') = 1 - P(A).
Znaczy to tyle, że szansa na to że nie wydarzy się A ({1,2,3}) w zbiorze Ω ({1,2,3,4,5,6}) jest równa prawdopodobieństwu zdarzenia nie-A ({4,5,6}).

Prawdopodobieństwo wystąpienia jednocześnie dwóch różnych zdarzeń liczymy jako sumę ich prawdopodobieństwa (np. A ⋃ C). We wzorze na nią znajduje się jednak mały szczegół wyjaśniony poniżej, który należy mieć na uwadze;
Ze zdefiniowanego powyżej zbioru i jego wydarzeń spróbujmy policzyć sumę A ⋃ B:
(A ⋃ B) = P(A) + P(B) =
P({1,2,3}) + P({2,3,4,5,6}) =
P({1,2,2,3,3,4,5,6}).
Jak widać, uzyskaliśmy niepożądaną sytuację, w której niektóre elementarne zdarzenia się dublują. Gdyby był to rzut kością symetryczną, prawdopodobieństwo A+B równe byłoby 1,(3) co jest niemożliwe. Nawet przy rzucie kością niesymetryczną i przy zdarzeniach niewyczerpujących zbioru Ω wynik byłby błędnie większy.
Sytuacja ta wynika z właściwości zbiorów (a konkretnie operacji sumy, z której korzystamy), ale łatwo można ten wynik naprwaić odejmując zdublowane zdarzenia, czyli część wspólną A i B (ich iloczyn):
(A ⋃ B) = P(A) + P(B) - P(A ⋂ B) =
P({1,2,3}) + P({2,3,4,5,6}) - P({2,3}) =
P({1,2,3,4,5,6}) =
P(Ω) =
1.

Iloczyn przeciwności dwóch zdarzeń jest przeciwieństwem ich sumy; (A' ⋂ C') = Ω\(A ⋃ C).
Można to łatwo zrozumieć, analizując dwa podzbiory w głównym zbiorze. Dla ułatwienia, do opisanych powyżej zdarzeń, dodajmy jeszcez jedno:
D = {5,6}
i zbadajmy przytoczoną regułę na przykładzie zdarzeń C oraz D:
C = {1,2}
D = {5,6}
C' = {3,4,5,6}
D' = {1,2,3,4}
C' ⋂ D' = {3,4}
Widzimy więc, że C zajmuje pozycje {1,2}, D zajmuje {5,6} (ich suma dawałaby zbiór {1,2,5,6}), a to co pozostaje poza ich zasięgiem to {3,4}, czyli iloczyn ich przeciwności - znaczy się jest część wspólna tego, co nie jest ani C, ani D.